Mantık

Mantık
Mantık bütün bilimlerin temel metodu olduğu gibi elektirik devrelerinin, hesap makinalarının genel teorisidir.

Önerme

1.Tanım

Doğru veya yanlış hükmü bildiren aynı zamanda hem doğru hem de yanlış olmayan ifadelereönerme denir.

Örn:
Sıfır doğal sayıdır. → Bir önermedir
Bir haftada beş gün vardır → Bir önermedir
Bugun nasılsınız ?→ Her hangi hüküm belirtmediği için önerme değildir.

2.Önermelerin Gösterimi

Önermeler genellikler p,q,r,s,t,u gibi harflerle gösterilir.
Örn:
p:5²=25 gibi.

3.Önermelerin Doğruluk Değeri

Tanımlanan bir p önermesinin doğru olması D ya da 1 , yanlış olması Y ya da 0 ile gösterilir.

Doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.

NOT: n tane önermenin doğruluk tablosu 2^n(2 üzeri n) şeklinde yapılır.

→ Doğruluk değeri aynı olan iki önermeye denk önerme denir.
p≡q şeklinde gösterilir.
→ Bir p önermesinin olumsuzu p' ile gösterilir.
p=1 ise p'=0'dır.
→ Önermelerin ve,veya,ise,ancak gibi işlemlerle bağlanmasına birleşik önermeler denir.

A.Veya İşlemi

Veya bağlacını ''v'' simgesi ile gösteririz. p veya q ifadesi pvq şeklinde gösterilir.
1v1≡1
1v0≡1
0v1≡1
0v0≡0 dır.∧


B.Ve İşlemi

Ve bağlacını ∧ simgesiyle gösteririz. p ve q ifadesi p∧q şeklinde gösterilir.

1∧1≡1
1∧0≡0
0∧1≡0
0∧0≡0 dır.

C. Veya İle Ve işlemlerinin Özellikleri


1. pvq≡p (Tek kuvvet(eş güçlülük) özelliği)
p∧p≡p
2.pvq≡qvp (Değişme özelliği)
p∧q≡p∧p
3. pv(qvr)≡(pvq)vr
p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r
4. ∧ nin v 'ye dağılma özelliği.
p∧(qvr)≡(p∧q)v(p∧r)

De Morgan Kuralı
(pvq)'≡p'∧q'
(p∧q)'=p'vq' dir.

ÖRNEK:
p=0
q=1
r=0
olduğuna göre, [pv(q'∧r)]' ifadesinin doğruluk değerini bulalım.

ÇÖZÜM:

[pv(q'∧r)]'=[0v(1'[pv(q'∧r)]'0)]'
=[0v(0∧0)]'
=(0∧0)'
=(0)'
=1 dir.

UYARI:
pv1=1 : p∧1=p
pv0=p : p∧0=0
pvp'=1 : p∧p'=0 dır.

C.İSE İŞLEMİ
ise bağlacını → simgesi ile göstereceğiz.
p ise q : p→q şeklinde okunur.
*p→q=p'vq
ÖZELLİKLERİ:

1) p→q koşullu önermesi verilsin.

p→q nun karşıtı : q→p
p→q nun tersi : p'→q'
p→q nun karşık tersi : q'→p'

2)
p→p=1 p→0=p' p→p'=p'
p→1=1 0→p=1 1→p=p

Ancak Ve Ancak
p ancak ve ancak q : p<=>q şeklinde gösteriilir.
* p<=>q=(p=>q)∧(q=>p)

MANTIK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

1) Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir ?

A)Haftada sekiz gün vardır.
B)Bu akşam erken yatmalıyım
C)Bugun nasılsınız
D)Okulun bitti mi ?
E)Nasıl oldu da çalışmaya başladı.

ÇÖZÜM:
Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
Buna göre, A seçeneğindeki ifade bir önermedir.
Cevap: A

2. p'∧q=1
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır ?
A)pvp' B) p=>q C) p'vq D) p'∧q E) pvq'

Çözüm :

p'∧q=1 ise p'=1 ve q=1
ise p=0 ve q'=0 olur.
Buna göre,
p'vq'=1V0=1 dir.
p=>q=p'vq=1=1 dir.
p'vq=1v1=1 dir
p'∧q=1∧1=1
pvq'=0v0=0 dır.
cevap : E


3.

p v (q=>p)birleşik önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

A-p B-p^q C-p'^q D-qvp' E-1

ÇÖZÜM
[pv(q=>p)]'=[(pv(q'v p)]'
=[(pvp)vq)vq']'
=[pvq']'=p'^q olur
©

4.

1-eşkenar dörtgenin dış açılarının toplamı 360 derecedir.
2-pi sayısı 3ten küçük değildir.
3-7-5<5-3
önermelerin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A-1,1,1 B-1,0,1 C-1,0,0 D-1,1,0 E-0,1,0

ÇÖZÜM
1-bütün dışbükey çokgenlerin dış açılarının toplamı 360 derecedir.(1)
2-pi sayısının yaklaşık değeri 3,14 olduğundan 3ten küçük değildir.(1)
3-7-5=2<5-3=2hiçbir sayı kendisinden küçük olamaz.(0)

5.
[(1v0)’v(0’Λ1)’]v1 işleminin sonucu kaçtır ?

ÇÖZÜM:

(1v0)’=1’=0
(0’Λ1)’=(1Λ1)’=1’=0
[0v0]v1=0v1=1

6.
''Bir mevsim 3 ay ise bir yıl 11 aydır.''
Önermesinin karşıt tersi olan önerme nedir?

ÇÖZÜM:
p→q önermesinin karşıt tersi q'→p' dir.
olduğuna göre,
''bir yıl 11 ay değilse bir mevsim 3 ay değildir'