Permütasyon Kombinasyon ve Olasılık

PERMÜTASYON-KOMBİNASYON-OLASILIK
1) PERMÜTASYON:
TANIM: r ≤ n olmak üzere n öğeli bir kümenin birbirinden farklı r öğesinin sıralı her bir dizilişine n öğenin r’li permütasyonu denir. r=n ise A kümesinin permütasyonlarının sayısı n! ‘dir. n öğenin r’li per-
mütasyonları için P(n,r) gösterimi kullanılır.
n öğenin r’li permütasyonlarının sayısı ;

P(n,r)= n!
(n-r)! 
ÖRNEKLER:

1) P(n,2) = 30 olduğuna göre n nedir?

ÇÖZÜM: 
n! = 30 → (n-2)!(n-1)!n =30 → n2-n –30=0 → (n-6) (n+5) = 0 n=6 V n=-5 
(n-2)! (n-2)!
n=-5 olamayacağından n=6’ dır.

2) TERKOS kelimesindeki harflerle anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç kelime yazılabilir? 

ÇÖZÜM:

TERKOS kelimesinde 6 farklı harf olduğuna göre bu harfin değişik sırada her yazılışı bir kelime alır. Bunların sayısı;
P(6,6) = 6! = 1. 2. 3. 4. 5. 6=720 olduğundan 720 farklı kelime yazılabilir.
3) 6 resimden 4 tanesi bir duvara yan yana olacak biçimde kaç farklı biçimde asılabilir?

ÇÖZÜM: 

Herhangi iki resmin yer değiştirmesi farklı bir asılma şekli olacağından, 6 resmin 4’lü permütasyonlarını bulmalıyız. Yani bu resimler;

P(6,4) = 6! = 6! = 360 farklı şekilde asılabilir.
(6-4)! 2! 
4) 6 kişilik bir aile 
a) Aynı sıradaki 6 sandalyeye kaç değişik biçimde oturur?
b) Anne ve baba yan yana oturmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir? 
c) Başa ve sona anne ve baba oturmak koşulu ile kaç değişik biçimde oturabilir?

ÇÖZÜM:

a) 6 kişi yan yana 6! = 720 değişik biçimde otururlar. P(6,6)= 720
b) Anne ve babanın yan yana oturma koşuluyla sıralanışlarını bulmak için anne ve baba 1 eleman gibi görülür.

1 2 AB 4 5
Böylece 5 kişi 5! biçimde oturur ve anne baba kendi aralarında 2! biçimde yer değiştirir. Buna göre so-nuç, 5!. 2!=240!’tır.
A 1 2 3 4 B


c) Aradaki 4 kişi 4! biçimde oturabilir. Anne baba da 2! oturabilir. Tüm sıralanış 4! . 2!=48


5) P(n,4) = 6. P(n,3) ise n kaçtır?

ÇÖZÜM: 
n! 
P(n-4) = n ! P(n-3) = olduğundan,
(n-4) ! (n-3) !

n! = 6. n! n! = 6. n! n-3=6 n=9 bulunur.
(n-4)! (n-3)! (n-4)! (n-3) (n-4)!

TEKRARLI DİZİLİŞ

TANIM: n tane nesnenin k1 tanesi aynı, k2 tanesi aynı , k3 tanesi aynı ... kr tanesi aynı ise;
(k1 + k2 + k3+............+ kr =n) Bu n tane nesnenin tekrarlı dizilişlerinin sayısı , 
n n!
k1,k2,k3,......kr = 
k1!k2!....kr!



ÖRNEKLER:
1) TEKETEK sözcüğündeki her harf sayısı kadar kullanılarak 7 harfli sıralı harf dizilişleri oluşturulacaktır.
Kaç farklı sıralı diziliş oluşturulabilir?

ÇÖZÜM:

2 tane T, k1=2
3 tane E, k2=3
2 tane K, k3=2 2+3+2 = 7 = n

7! 3!.4.5.6.7
= = 210 farklı sıralı diziliş oluşturulabilir. 
2!3!2! 2.3!.2

2) 3330044 sayısının rakamları yer değiştirerek 7 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM: 

3 tane 3 , k1=3
2 tane 0, k2=2 
2 tane 4, k3= 2 3+2+2 = 7 =n

7!
= 210 fakat sıfırlar başa gelemeyeceğinden 5/7 ‘si 7 basamaklı sayılardır.
3!.2!.2!
Buna göre 210.5 
=150 tane istenen koşulda sayı yazılabilir.
7

3)Yan yana duran 7 sandalyeye 4 kişi rasgele;
a)Kaç farklı biçimde oturabilir? 
b)Dördü yan yana olmak koşulu ile kaç farklı biçimde oturabilir?

ÇÖZÜM:

a) Bu dört kişi a,b,c,d olsun sandalyeler t olsun. Bir oturuş biçimi atbtctd biçiminde olur. Bu oturuş biçiminde de görüldüğü gibi bütün oturuş biçimleri 7 elemanın tekrarlı permütasyonlarının sayısıdır. Buna göre bu dört kişi ,

7! = 3!.4.5.6.7 = 840 farklı biçimde oturabilir.
3!1!1!1! 3!

b) Dördü yan yana t abcd tt biçiminde oturabilir. Bu oturuş biçimlerinin sayısı 4 elemanın tekrarlı permütasyonlarının sayısıdır. Buna göre;

4! = 3!.4 = 4’tür. Diğer yandan bu dört kişi de 4!= 24 farklı biçimde oturabileceğinden
3!1! 3!
İstenen oturma biçimlerinin sayısı 24.4=96 olur.

DÖNEL SIRALAMA(DAİRESEL PERMÜTASYON)

TANIM:
n elemanın bir daire etrafında sıralanışına n elemanın dairesel permütasyonu denir. n elemanın dairesel sıralanış sayısı (n-1)! ‘dir.

ÖRNEKLER: 

1) 2 Fransız ,3 Türk, 3 İtalyan’dan oluşan 8 kişilik bir grup aynı ulustan olanlar yan yana olmak koşuluyla
yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Kaç farklı sıralanış olur?

ÇÖZÜM:

Dönel sıralama (3-1)! =2! ‘dir.
2 Fransız kendi arasında 2!
3 Türk kendi arasında 3! 
3 İtalyan kendi arasında 3! şekilde sıralanırlar. Bu durumda;
(3-1)!.2!.3!.3!=144 farklı sıralanış olur.

2) Anne baba ve dört kardeşten oluşan 6 kişi bir aile yuvarlak bir masa etrafında;
a) Kaç farklı biçimde,
b) Anne baba yan yana olmak koşuluyla 
c) Anne baba yan yana olmamak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilirler?

ÇÖZÜM:

a) (6-1)!= 5! =120 farklı biçimde oturabilirler.
b) Anne baba bir kişi olarak düşünülürse 4+1=5 kişi olur.
(5-1)! = 24 anne baba da 2! farklı şekilde oturabileceklerinden 24 . 2=48 farklı biçimde otururlar.
c) 120-48=72 farklı biçimde oturabilirler. (masa ters çevrilmeyeceğinden ikiye bölünmez) 

3)3 kız 3 erkekten oluşan bir grup, yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. 


a) Aynı cinsten olanlar yan yana olmak koşuluyla kaç farklı sıralanış olur.
b) Aynı cinsten olanlar yan yana bulunmamak koşuluyla kaç farklı sıralanış oluşur. 

ÇÖZÜM:

a) Kızlar ve erkekler olmak üzere 2 grup olduğundan (2-1) !=1! sayıda grup olarak sıralanırlar. Kızlar kendi arasında 3!, erkekler kendi 3! sayıda sıralanırlar. Sıralanış sayısı: (2-1)! 3! 3! = 36 farklı sıralanış oluşur.
b) 3 erkeğin dönel sıralanış sayısı (3-1)! =2’dir. Kızlar boş kalan 3 sandalyeye 3!= 6 farklı şekilde sırala-nırlar. Bu durumda, (3-1)! 3!=12 sıralanış sayısı olarak bulunur.

KOMBİNASYON
TANIM: n elemanlı bir kelimenin r elemanlı tüm alt kümelerinden n’ in r’ li kombinasyonu denir. 
(0≤ r ≤ n) n elemanlı bir kümenin r‘ li kombinasyonlarının sayısı: 

n n!
C(n,r) = r = 'dır. 
(n-r)! r!
UYARI: Permütasyon bir kümenin elemanlarının değişik sıralanış sayısıdır. Kombinasyon ise sıra gözet-meksizin, bulunabilecek alt küme sayısıdır. Gruplama problemleri kombinasyonla, sıralama permütasyonla çözülür. 
ÖZELLİKLER: 

1) nЄN ve r ≤n olmak üzere P(n,r) = r! C(n,r) 

n n
2) n =1 ve 0 =1

n n
3) r = n-r ‘dir

n n n+1
4) r + r-1 = r

n + n + n +............+ n = 2n ‘ dir
5) 0 1 2 n

ÖRNEKLER:
1) 10 voleybol oyuncusu arasından 6 kişilik voleybol takımı seçilecektir. Kaç farklı takım seçilebilir?

ÇÖZÜM: 
10 10.9.8.7 
Seçilecek takımda sıra önemli değildir. Öyleyse; 10 kişiden 6 kişi: 6 = 4.3.2.1 =210 farklı şekilde seçilebilir. Yani 210 farklı voleybol takımı kurulabilir.

2) 10 basketbol oyuncusu arasından belli bir oyuncunun daima kaptan olarak yer aldığı 5 kişilik basket ta-kımı, kaç farklı şekilde seçilebilir?
ÇÖZÜM: 
A isimli daima kaptan olarak takımda yer alacaksa, takımda geri kalan 9 kişiden 4 kişi seçilecek demektir.
Öyleyse; 9 9.8.7.6 
4 = 1.2.3.4 =126 farklı takım kurulabilir.

3) 6’sı kız , 7’si erkek 13 kişilik bir topluluktan 2’si kız 4’ü erkek 6 kişilik bir grup kaç farklı biçimde seçi-lebilir?

ÇÖZÜM:
6 
6 kız arasından 2 kız 4 = 15 15.35=525 farklı biçimde seçilebilir.
7
7 erkek arasından 4 erkek 4 = 35 farklı biçimde seçilebilir.

4) 8 kişi arasından en az 3 kişiden oluşan kaç değişik komisyon kurulabilir?

ÇÖZÜM:

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 28
0 1 2 3 4 5 6 7 8 

1+8+28 x
x = 28-37= 256-37=219 şekilde kurulur.
5) C (2+1, 2n+-1) – 2 C(n+2, n) = 46 ise n kaçtır?

ÇÖZÜM: 
(2n+1)! (n+2)!
2.
(2n+1) - (2n-1) !(2n-1)! (n+2-n)! n!

(2n+1) (n+2) = 46 n(2n+1)-(n+1).(n+2) = 46
2.(2n-1) 2. n!
2n2 + n – n2- 3n –2=46 n2-2n-48=0 (n-8).(n+6) = 0 n=8 n=6

OLASILIK

TANIM: Bir deneyin tüm sonuçlarının kümesine örnek uzay (E) örnek uzayın her öğesine örnek nokta de-nir.
TANIM: Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. Boş kümeye olanaksız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir.
ÖRNEK: Bir çift zar atılsın. Örnek uzay kaç öğelidir? Bu deneyde tanımlanan 

A= üst yüze gelen rakamlarının toplamının 10 olması deneyi kaç öğelidir?

ÇÖZÜM: 
Bir zarın atılması deneyinde 6 sonuç vardır. Bunlar 1,2,3,4,5,6 ‘dır. iki zar atıldığında ise 36 sonuç olur. Çünkü 1.zarın sonuçlarının kümesi A ise 2. zarın sonuçlarının kümesi de A’dır. s(A) =6 olduğundan s(AxA)= s(A).s(A)=6.6=36’dır.

A= (4,6),(6,4),(5,5) olup s(A)=3’tür.
EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAYDA OLASILIK HESABI:
E= a1, a2, a3................an kümesi için,
P(a1)=P(a2)=P(a3)=.................P(an) ise, E örnek uzayınca eş olumlu örnek uzay denir.A E iken,
n(A) A olayının eleman sayısı
P(A) = = 
N(E) Örnek uzayın eleman sayısı

ÖRNEK:
İki madeni para aynı anda atıldığında en az birinin tura gelme olasılığı nedir?


ÇÖZÜM:

Örnek uzay E= (T,T),(Y,Y),(Y,T),(T,Y)
n(A) 3 ‘tür.
A= (T,T),(Y,T),(T,Y) P(A)= n(E) = 4


ÖRNEK:
Bir torbada 6 kırmızı, 7 mavi , 8 beyaz bilye vardır. Torbadan bir bilye çekilirse mavi gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:
n(E)= 6+7+8=21 toplam bilye sayısı
n(A)= 7 mavi bilye sayısı

n(A) 7 1
P(A)= n(E) = 21 = 3 ‘tür




ÖZELLİKLER:
1) Bir olayın olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(A)= 0 imkansız olay
3) P(A)= 1 kesin olay
4) Bir olayın olma ve olmama olasılığı toplamı 1’ e eşittir. P(A)+ P(A’) =1’dir.

ÖRNEK:
Bir torbada 5 beyaz ,8 mavi, 7 sarı bilye vardır. Torbadan bir bilye çekilirse beyaz gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

N(E)= 5+8+7=20 toplam bilye sayısı 
N(A)= 5 beyaz bilye sayısı 

Beyaz gelme olasılığı 5/20 = 1/4 P(A)= 1/4 beyaz gelmeme olasılığı P(A’)= 1 – 1/4 = 3/4 ‘tür.

A VEYA B OLAYININ OLASILIĞI

A ve B olayları bağımsız ise P(AU B)=P(A)+P(B) ‘dir. A∩B= 0 
A ve B olayları bağımsız değil ise P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ‘dir. A∩B = 0


ÖRNEK: 
Bir zar atıldığında üst yüzünün 4 veya tek gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:
E= 1,2,3,4,5,6 n(E)=6 A= 4 , n(A)=1 P(A)=1/6 B= 1,3,5 n(B)=3 P(B)=3/6=1/2
P(AUB) = P(A)+P(B)= 1/6+3/6=4/6=2/3’tür.

A VE B OLAYININ OLASILIĞI

A ve B olayları bağımsız ise; P(A∩B)= P(A). P(B) ‘dir.

KOŞULLU OLASILIK
1) A olayının olasılığı B olayına bağlı ise; P(A/B)= P(A∩B) / P(B)

2) B olayının olasılığı A olayına bağlı ise; P(B/A)= P(A∩B) / P(A)

ÖRNEK:
Bir çift zar atıldığında sayılar toplamının 8 olduğu bilindiğine göre bu sayıların ikisinin de tek olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

E= (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

A= (3,5),(5,3) P(A)= 2/5